Ejemplo de Probabilidad Dependiente

Veremos un interesante problema de probabilidad de eventos dependientes en el que tendremos que arrojar monedas tanto normales como trucadas.
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En esta nueva oportunidad, trabajaremos nuevamente con monedas, algunas normales, es decir, de una cara (c) y un sello (s) y otras trucadas, es decir, que tienen cara (c) y un sello (s) también, pero una parte pesa mas que la otra, siendo esta la de cara (c), que va a tener mas probabilidades de salir.

Imaginemos que tenemos una bolsa y dentro de la misma, tenemos 8 monedas, entre las cuales 5, son normales y 3, son trucadas.

ejemplo de probabilidad dependiente 1 a

Nuestro problema nos pide hallar la probabilidad de que, quitando 1 moneda de la bolsa, logremos, en 2 tiros de dicha moneda, obtener 2 veces cara (c).

P (c c)

Supongamos que arrojamos dichas 3 monedas, azarosamente, al aire y queremos averiguar cual será la probabilidad de obtener, en estos 3 tiros, exactamente, 2 veces cara (c).

P (exactamente 2 caras)

Nuestro primer cálculo será el de obtener la probabilidad de sacar una moneda normal de la bolsa. En este razonamiento, los casos posibles son 8, en relación a las 8 monedas totales y los casos favorables, son 5, correspondientes a las 5 monedas normales, que están dentro de la bolsa.

P (moneda normal) = 5/8

Acto seguido, nuestra probabilidad de obtener una moneda trucada, estará determinada por la razón o división entre, nuevamente, los 8 casos posibles y, a diferencia del primer cálculo, los 3 casos favorables, teniendo en cuenta las 3 y únicas monedas trucadas o modificadas.

P (moneda trucada) = 3/8

De esta manera, para el primer tiro de cada una de las monedas, tendremos 1/2 de probabilidades de obtener cara (c) o sello (s), para las 5 monedas normales y una probabilidad de 3/5 o 60% para la obtención de cara (c) y de 2/5 o 40% para sello (s), para las 3 monedas trucadas.

Al estar trabajando con eventos independientes, notaremos que las probabilidades son exactamente iguales, tanto para el primer como para el segundo tiro de la moneda obtenida. Entonces:

ejemplo de probabilidad dependiente 1 b

De esta forma, a nosotros solos nos interesarán los casos donde se obtengan 2 veces cara (c).

Entonces, si deseamos conseguir la probabilidad de obtener una moneda normal y luego, sacar 2 veces cara (c), deberíamos multiplicar la probabilidad de hallar la moneda normal, por, la probabilidad de obtener 2 veces cara (c) habiendo tenido la oportunidad de obtener previamente, dicha moneda. Sería:

ejemplo de probabilidad dependiente 1 c

Analicemos ahora, la probabilidad de obtener la moneda trucada y posteriormente, 2 veces cara (c). Entonces:

ejemplo de probabilidad dependiente 1 d

Finalmente, si deseamos conseguir la probabilidad que se nos pide, debemos sumar todos los resultados obtenidos hasta el momento, es decir, las 2 probabilidades halladas, referidas a los 2 casos analizados. Matemáticamente:

ejemplo de probabilidad dependiente 1 e