Problema de Probabilidad de Eventos Dependientes

Veremos unos problemas que nos enfrentan a la búsqueda de probabilidades de eventos dependientes.
Consulta un profesor online en este momento
4 calificaciones
Consulta un profesor online en este momento
Comentarios y Preguntas
Contenido

Resolveremos el siguiente problema que plantea lo siguiente:

Se organiza un juego con 36 cartas separaras en 4 palos distintos (diamante, trébol, corazón y espada), cada uno organizado con los números del 1 al 9.

Se reparten 9 cartas a cada jugador.

¿Qué probabilidad hay de recibir 4 unos (1), en la misma mano?

Este problema nos plantea calcular la probabilidad de recibir, en una misma mano o repartición de cartas, el 1 de diamantes, el 1 de tréboles, el 1 de corazones y finalmente y en la misma mano, el 1 de picas o espadas.

P (4 unos)

Para resolver este problema, utilizaremos la fórmula que contiene, los casos posibles en su denominador y los casos favorables, en su numerador.

probabilidad de eventos dependientes 2 a

Los casos posibles van a estar dados por cuantas y cuales manos distintas se nos presentarán, formadas por 9 o 36 cartas, dispuestas en grupos de 9.

Es así, que tendremos un esquema de 9 casilleros, para cada uno de los cuales, dispondremos, en el primer casillero de las 36 cartas; en el segundo de 35 cartas, teniendo en cuenta que una ya salió en el primer casillero y así respectivamente hasta llegar al noveno y último casillero, donde dispondremos de tan solo 28 cartas. Entonces:

36 x 35 x 34 x 33 x 32 x 31 x 30 x 29 x 28

De esta manera, iremos multiplicando las diversas posibilidades o probabilidades y así obtendremos todas las variaciones o combinaciones distintas que se nos pueden presentar con dichas cartas y su disposición.

Por ejemplo, podemos tener en una primera mano, el 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7 de corazones junto al 1 y 2 de picas o espadas (negrita). O también podemos ubicar las mismas cartas pero en diferente orden. A saber:

36 x 35 x 34 x 33 x 32 x 31 x 30 x 29 x 28

1 2 3 4 5 6 7 1 2

1 1 2 2 3 4 5 6 7

Ante estos dos últimos ejemplos de disposición de cartas, podemos observar que, a pesar de parecer distintas dichas combinaciones, en realidad son iguales, solo que las cartas se encuentran en distinto orden, por lo cual, algo importante en este caso será comprender que no es de nuestro interés el orden de las cartas sino la presencia de los 4 unos (1).

Si realizamos solamente dicha multiplicación, vamos a estar contando, 2, 3 o varias veces más, la misma combinación de cartas, tomadas de a 9, con lo cual, debemos eliminar, de este último ejemplo, las repeticiones. Y para eliminar dichas repeticiones, debemos dividir todo, por las distintas combinaciones en que se disponen dichas cartas.

Dentro de las 9 cartas que dispondremos, debemos averiguar a su vez, las variaciones que tienen dentro. De esta manera, si tenemos 9 cartas, vamos a tener, para el primer casillero 9; para el segundo 8 cartas y así respectivamente hasta ubicar una sola carta en el último casillero. Matemáticamente:

probabilidad dependiente 2 b

Es de esta manera, que hallaremos todos nuestros casos posibles. Y prestemos atención al denominador de la fórmula anteriormente descripta, que se traduce a 9! (9 factorial) y luego, al numerador, donde tenemos 36! (36 factorial), que a su vez es dividido por (36 – 9)!. Entonces:

probabilidad dependiente 2 c

Calculemos entonces, los casos favorables. Es entonces, que nuestro caso favorable, corresponde al 1 de diamantes, al 1 de tréboles, al 1 de corazones y al 1 de picas o espadas, todos en una sola mano.

Una vez establecido lo anterior, dispondremos dichos 4 unos (1), en los primeros 4 casilleros de los 9 con los que contamos para repartición de cartas.

1 1 1 1 _ _ _ _ _ _

Entonces si hemos ocupado 4 de los 9 casilleros, siendo estos los 4 primeros, procederemos a ubicar en el quinto casillero, 32 posibilidades y partir de este quinto casillero, iremos restando de una carta de las 32, y ubicando las siguientes posibilidades, lo cual nos daría 31 cartas para el sexto casillero; 30 para el séptimo y así hasta llegar al noveno con 28 posibilidades de distribuir las cartas. Esto seria:

1 1 1 1 32 31 30 29 28

Sin embargo, estaríamos ante eventos repetidos nuevamente, como los había en los casos posibles, por lo cual deberíamos proceder a eliminarlos.

Para realizar dicha supresión de eventos repetidos, debemos dividir dichos 5 casilleros, por las distintas formas de acomodar 5 cartas. Así, tendremos, en el primer casillero, 5 posibilidades y en el segundo 4, hasta llegar al último con solo una carta. Expresado:

probabilidad de eventos dependientes

Finalmente tendremos 2/935 de probabilidades de obtener los 4 unos (1), en una sola mano de cartas.