Introducción al Teorema de Bayes

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Imaginemos que tenemos una bolsa con 10 monedas, donde 1 de esas 10, es trucada, es decir que tiene 2 veces cara (c).

probabilidad parte 7

Nuestro problema nos pide hallar la probabilidad de que, metiendo nuestra mano en dicha bolsa y sacando 1 moneda, obtengamos 5 veces seguidas, cara (c).

P (5 caras seguidas)

Una de las formas más sencillas de resolverlo es pensar el siguiente diagrama:

moneda normal

De esta manera, partiendo de una moneda normal, tendremos 1/2 de probabilidades de obtener cara (c) y 1/2 de probabilidades de obtener sello (s).

Si sumamos dichas probabilidades de obtener cara (c), en cada tiro, notaremos que:

1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32

De esta forma, nuestras probabilidades de obtener una cara (c), en cada uno de estos 5 tiros, es de 1/32.

Sumado a esto, debemos averiguar la probabilidad de haber obtenido, previamente, una de estas monedas normales y no la trucada, ya que sino, la probabilidad variaría.

Por esto mismo, tendremos que multiplicar a la probabilidad de obtener 5 veces cara (c), por la probabilidad de obtener previamente, una moneda normal. Entonces:

1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 x 1/2 = 1/32 x 9/10 = 9/320

Este resultado se resume a la probabilidad de obtener 5 veces cara (c) y, previamente, la moneda normal:

P (5 caras y moneda normal) = 9/320

Pudimos arribar a dicho resultado, multiplicando la probabilidad de obtener la moneda normal, por la probabilidad de haber obtenido 5 veces cara (c), habiendo obtenido previamente, dicha moneda normal. Entonces:

P (5 caras y moneda normal) = 9/320

=

P (moneda normal) x P (5 caras/moneda normal)

Analicemos a continuación, que sucedería si saliera la moneda trucada. En este caso, el razonamiento seria similar al anterior:

P (5 caras y moneda trucada)

=

P (moneda trucada) x P (5 caras/moneda trucada)

Nuevamente, utilicemos un diagrama simple y conciso, para notar fácilmente, las probabilidades de obtener cara (c) o sello (s).

moneda trucada

De esta manera, partiendo de una moneda trucada, tendremos un 100% de probabilidades de obtener cara (c).

Por otro lado, la probabilidad de conseguir la moneda trucada será de 1, en relación a la única moneda trucada existente, sobre 10, en concordancia con las 10 monedas presentes en la bolsa.

P (moneda trucada) = 1/10

Habiendo conseguido ambas probabilidades, procederemos a realizar el siguiente cálculo, para llegar a nuestro resultado final:

P (5 caras) = 9/320 + 1/10 = 41/320

Nuestra probabilidad final, será entonces, de 41/320.

Generalizando sobre dichas cuestiones, expresemos la siguiente fórmula:

P (a ∩ b) = P (a/b) x P (b)

Otra forma de analizarlo es mediante el siguiente diagrama, donde la intersección representará la probabilidad de que ocurran ambos eventos:

probabilidad parte 7 d

Partiendo de la base de que el orden de los factores, no altera el producto, notaremos que:

P (a ∩ b) = P (a/b) x P (b)

=

P (b ∩ a) = P (b/a) x P (a)

=

P (a y b) = P (b y a)

Sigamos analizando lo mismo, pero con diferentes interpretaciones. Entonces:

probabilidad parte 7 e

Esta última fórmula, se engloba dentro del famoso Teorema de Bayes, que nos ayudará, por ejemplo, a resolver el problema de, habiendo conseguido 5 veces cara (c), averiguar que probabilidad habíamos tenido de haberlas conseguido obteniendo previamente, la moneda trucada.

Solamente deberíamos suplantar en la fórmula, a y b, por nuestros datos obtenidos y arribaríamos al resultado, que es de un 78% de probabilidades.