Problema con Eventos Independientes

Trabajaremos un problema particular que nos introducirá a las cuestiones de probabilidad de eventos independientes.
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En este problema, razonaremos un nuevo ejemplo de probabilidad compuesta de eventos independientes.

El problema propone:

Si arrojamos un dado normal 3 veces seguidas…

¿Cuál es la probabilidad de que siempre salgan números pares?

eventos independientes 3 a

Imaginemos que tenemos un dado común y corriente, de 6 caras y 3 de ellas contienen un número par, es decir, 2, 4 y 6. A partir de lo anterior, el problema nos pide calcular la probabilidad de que arrojando 3 veces dicho dado, obtengamos, en cada tiro, un numero par. Entonces:

P (par – par – par)

En el primer tiro del dado, pueden salir 6 resultados o casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6) y 3 casos favorables (2, 4 o 6), que en nuestro caso serian obtener un numero par, en dicho primer tiro. Esto se traduciría a una probabilidad de sacar un número par en el primer tiro, de 3/6.

En el segundo tiro, el número de casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6) serán nuevamente 6 y los casos favorables, una vez mas, 3 (2, 4 o 6), aunque, los resultados obtenidos en este segundo tiro, serán completamente independientes de los resultados obtenidos en el primer tiro. La probabilidad será entonces de 3/6, al igual que en el primer tiro.

De todas formas, esto nos da la pauta de que, por cada una de las probabilidades que tengamos en el primer tiro, vamos a tener una, para el segundo tiro. Y por cada una de las probabilidades obtenidas tanto en el primer como en el segundo tiro, vamos a tener igual de probabilidades para el tercer tiro.

Una vez mas, vamos a tener, en el tercer tiro, la misma cantidad de probabilidades que en los dos tiros anteriores, siendo estos 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6) y 3 casos favorables (2, 4 o 6). Entonces:

P (1er par) + P (2do tiro par) + P (3er tiro par)

=

3/6 x 3/6 x 3/6 = 27/216 = 1/8

Es así, que nuestra probabilidad de arrojar 3 veces un dado y obtener, en cada tiro, 1 número par, es de 1/8.

Analizaremos a continuación, un nuevo enfoque para calcular dicho razonamiento.

Tendremos, para el primer tiro, 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6) y suponiendo que buscamos que salga un 2, tendremos nuevamente, 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6). Ahora imaginemos que obtenemos un 4, lo cual desprendería 6 nuevos casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6) y finalmente, obtenemos otra vez un 2, arrojando entonces, otros 6 casos posibles (1, 2, 3, 4, 5 o 6).

eventos independientes 3 b

De esta manera, utilizando un diagrama de árbol, habríamos obtenido 2, 4 y 2, con lo cual tendríamos los 3 números pares que esperábamos obtener.

Analicemos las diferentes probabilidades que podríamos tener, entre números pares (p) e impares (i), distribuidos en 3 tiros, que conforman un total de 8 combinaciones. Estas son:

1 p p p

2 p p i

3 p i p

4 i p p

5 p i i

6 i i p

7 i p i

8 i i i

Es así, que la única combinación favorable para nuestro propósito (combinación 1), será una entre las 8 existentes, lo cual se traduciría a 1/8 de probabilidades.